黄国栋滔滔不绝地讲解着，时而在空中比划，时而在纸上快速写下公式。他的语速很快，眼神中闪烁着自信的光芒，仿佛在向所有人宣告：看，这就是我的实力！

老师们静静地听着，脸上没有太多表情。有的在认真记录，有的则若有所思地点着头。

"证明对于任意复数z满足|z|≤ 1，下列不等式成立：

|e^z+ e^(-z)|≤ 2cosh(|z|)

其中，e是自然对数的底，cosh是双曲余弦函数。

我们的解法如下：首先，利用欧拉公式e^(ix)= cos(x)+ isin(x)，我们可以将z表示为x+ iy的形式。然后：

e^z+ e^(-z)= e^(x+iy)+ e^(-x-iy)

= e^x(cos(y)+ isin(y))+ e^(-x)(cos(-y)+ isin(-y))

=(e^x+ e^(-x))cos(y)+ i(e^x- e^(-x))sin(y)

利用双曲函数的定义，我们可以将其简化为：

e^z+ e^(-z)= 2cosh(x)cos(y)+ 2isinh(x)sin(y)

取模得到：

|e^z+ e^(-z)|= 2√(cosh^2(x)cos^2(y)+ sinh^2(x)sin^2(y))

应用柯西-施瓦茨不等式，我们可以得到：

|e^z+ e^(-z)|≤ 2√(cosh^2(x)+ sinh^2(x))= 2cosh(|x|)

由于|z|≤ 1，我们有|x|≤|z|。而cosh是单调递增函数，所以：

2cosh(|x|)≤ 2cosh(|z|)。"

"......最后，我们得出的结论是，"黄国栋用充满戏剧性的语气说道，"因此，我们证明了不等式|e^z+ e^(-z)|≤ 2cosh(|z|)成立。"